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　　 数学家的眼光和普通人的眼光不同：在常人看来十分繁难的问题，数学家可能觉得很简单；常人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂。
　　 张景中院士从中学生熟悉的问题入六，通俗生动地介绍了数学家是如何从这些简单的问题中，发现并得出不同凡响的结论的。
　　 《数学家的眼光》讲的不是解某一类数学题的技巧，它告诉读者的是思考数学问题的思路和方法，重在帮助读者全面提高解决数学问题的能力。
　　 《数学家的眼光》被中外专家誉为是一部具有世界先进水平的科普佳作。

文：王渝生（中国科技馆馆长）
出处：中华读书报

　　荣获2005年度国家科技进步奖的《数学家的眼光》（中国少年儿童出版社出版）是由著名数学家和科普作家张景中院士撰写的一部优秀科普作品。

　　我有幸担任2005年度国家科技进步奖科普作品的评委。推荐参评的40多种科普作品中，很多都是大部头，还有的是总字数上千万、作者逾百人的丛书、套书，而张景中院士独著的《数学家的眼光》不过区区6万多字。我们20多位来自各个领域的专家评委，每人根据自己熟悉的研究领域挑选两三本书精读，写出推荐意见，提供给评委会评审。我是学数学出身的，自然选择了张景中的《数学家的眼光》。

　　该书封面书名之下有一个副标题为“张景中院士献给中学生的礼物”，使我倍感亲切，因为我曾当过10年的中学数学教师。翻开该书，扉页上有数学大师陈省身为本书写给张景中的信，称“承寄大作小册，甚为欣赏”，“该书似当译成英文”。再看目录，有“温故知新”、“正反辉映”、“巧思妙解”、“青出于蓝”和“偏题正做”5个一级标题下的22个专题，既有“了不起的密率”、“会说话的图形”、“椭圆上的蝴蝶”、“圈子里的蚂蚁”这样具体的数学问题，又有“相同与不同”、“归纳与演绎”、“精确与误差”、“变化与不变”这样抽象的数学问题。我连夜一口气读完了该书全文，抚卷深思，深受震动：我以前学数学、教数学，着眼的是数学知识和解题技巧，而张景中着眼的是数学思想和数学思维。数学家的眼光和普通人的眼光很不同。在常人看来十分繁难的问题，数学家可能觉得很简单：3只小鸡、3只熊猫、3条恐龙，它们之间有天壤之别，但是对于数学家而言，无非都是一个数字“3”而已；月饼、烧饼、铁饼，到了数学家那里，无非都是圆——数学家看问题，关心的是数量关系和空间形式，用的是抽象的眼光。常人觉得相当简单的问题，数学家可能认为非常复杂：德国的鲁道夫曾经把圆周率π算到小数点以后的35位，用这样的π值计算一个能把太阳系包围起来的大球的表面积，误差还不到质子表面积的百分之一，够精确了吧？但数学家看来，它和真正的π有本质的不同，这个数是有理数，而π是无理数。我想，青少年读读这本书，一定会大为受益，因为他们从中学到的，绝不仅仅是具体的解题技巧，而是数学思维的方法，甚至是数学研究的思路。

　　张景中在《数学家的眼光》中对祖冲之把355/113作为π的近似分数值的精度作了详细的分析。他用中学生熟知的不等式算法，证明了所有分母不超过113的分数中，进而分母不超过1000、10000甚至16586的分数中，355/113是最接近π的冠军；而52163/16604，只比355/113在小数后第七位上略精确一点，但分母却大了上百倍。张景中对这一问题的分析实在是精到、精彩极了，值得读者仔细品味。另外我觉得，了解我国古代科学家的卓越贡献，对青少年来说也是极好的爱国主义教育。

　　该书初版仅1年就发行了3万多册，并且几年来常销不衰，这种情形在国内原创科普图书中是不多见的。我的友人、台湾九章出版社社长孙文先告诉我，他在台湾惨淡经营专售数学书籍的九章书店，濒临破产，后引进《数学家的眼光》出版繁体字版，不长的时间内发行了6万多册，经济效益明显，为九章书店扭亏为盈做出了重要的贡献。

　　我在评奖会上陈述了上述看法和情况，评委们经过认真讨论，最后以高票通过了《数学家的眼光》入选2005年度国家科技进步奖。

　　国家科技进步奖还要一年一年地评下去，并将继续将科普作品纳入评奖范围，这对科普事业无疑会有重要的促进作用。我热切期望，在这一奖项的激励下，在更多科学家、科普作家以及出版社的努力下，能够涌现出更多像《数学家的眼光》一样优秀的科普作品来。

——写在《数学家的眼光》（2007增补版）出版之际

文：张景中 出处：中华读书报 2007年9月

　　张景中院士《数学家的眼光》曾获得国家科技进步奖、国家图书奖、全国优秀科普读物一等奖、全国优秀畅销书奖，受到数学界高度评价，青少年读者热烈追捧。最近，中国少年儿童出版社推出了该书的增补版。我们在此刊发张景中院士为该书所写序言。　　　　　　　　　　　　　——编者

　　微积分学的重要，众所周知。

　　世界上每年都有数千万人学习微积分。

　　我国高中数学新课程中，也增加了微积分初步的一些内容。

　　微积分的基本原理，很难说得清楚明白。在数学史上，牛顿和莱布尼兹被誉为微积分的主要创建人。他们对自己创建的微积分就说不明白。当时和后来的许多杰出数学家，包括欧拉这样的伟大数学家，也说不明白。数学家使用原理说不清的方法来解决问题，引来了激烈的冷嘲热讽。

　　数学家是向前看的。数学家的眼光，能看出淤泥中的种子的生命力，能透过浓雾看出光明的前方。他们没有因为逻辑上的困难和人们的非议而抛弃新的方法，而是积极地挖掘新方法带来的宝藏，在不稳固的地基上设计并着手建设辉煌的大厦。

　　人们称此为第二次数学危机。

　　数学家们前赴后继，一代接着一代地思考。

　　在大约150年后，终于补上了微积分的基本概念上的漏洞。所用的方法，就是近百年来大学数学系微积分教程里要讲的极限定义方法，所谓ε－δ语言的方法（ε－δ读作“一不是龙逮儿它”）。这个方法是法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。

　　其实，用极限来说明微积分的思想，莱布尼兹早已有了。但说不明白极限的概念。概念说不明白，一系列的定理的证明只能含含糊糊。直到出现了ε－δ语言，把极限说清楚了，微积分也就说清楚了。

　　虽然说清楚了，但ε－δ语言学起来太辛苦。除了数学专业，大学里的理工科的高等数学课程里，都不要求掌握ε－δ语言的推理方法，只求直观地大概了解微积分的原理。

　　也就是说，在微积分的严谨化完成后100多年的今天，尽管每年有上千万人学习微积分，但其中90%都是知其然而不知其所以然，对微积分的原理只能做到模模糊糊地了解。

　　如何能够让学生轻松地弄明白微积分的原理，这是世界上数学教育领域的百年难题。

　　如今，难题有望解决。

　　解决难题的方案令人惊奇：不用极限概念，用一个初等的不等式来定义函数的导数，也能够严谨地建立微分学。

　　这个不等式，就是我国著名数学家林群院士提出的“一致性不等式”。

　　林先生提出用“一致性不等式”来定义导数，首先是为了直接地简捷推出微积分基本定理。随后我们发现，这样定义导数使更多的问题能够迎刃而解。

　　这样一来，微积分中最基本的部分，就成了初等数学！

　　一个函数和它的导数的关系，最基本最有用的命题是“导数非负则函数单调不减”。高中新课程里讲导数的应用，主要就是这个命题的应用。可是这个命题的证明就说来话长了。在非数学专业的高等数学教程里，一般不会给出它的完全证明。具体说来，这个命题可以用拉格朗日中值定理推出，拉格朗日中值定理则是用罗尔定理推出，罗尔定理的证明要用到“连续函数在闭区间上取到最大值”的性质，这条性质的证明则涉及实数理论和连续性定义。这样迂回一下，就要用两个星期！而且多数学生难于理解。

　　如果用“一致性不等式”来定义导数，半节课就能严谨地证明这个命题。所用的方法是初等的，高中生也能理解。

　　在一些数学大家的著作里，常常说，没有极限概念就无法定义导数。

　　现在发现，不用极限概念不但能定义导数，而且更利于展开推理。

　　如果当初牛顿发现了这个定义方法，第二次数学危机就没有了。数学史就要改写。

　　如果柯西和维尔斯特拉斯发现了这个定义方法，高等数学教学的最大难点就被消除了。

　　当初，用极限来定义导数，深化了人们对微积分的认识。

　　现在发现，不用极限也能定义导数，人们对微积分的认识更加深化了。

　　这真是激动人心的故事。而且就发生在我们身边。

　　真会这样？如何会这样？《数学家的眼光》书中新的一章，力图把这个故事交代清楚。

　　说起来又很平常。数学家的眼光，常能见微知著，从细节里看出大问题。这个故事说清楚了，其实并不高深，高中生能够明白。

　　而且，高中生应当知道这个故事。他们应当知道，课本上说不清的问题，历史上大数学家说不清楚的问题，是如何说清楚的。

　　他们应当知道，几百年的东西，仍然可以改进，可以做得更好。

　　这对于培养探索精神，增强创新意识，极有好处。

　　中国少年儿童出版社的薛晓哲编辑，早就建议我续写《数学家的眼光》。因为没有想到好的话题，迟迟未敢动笔。现在有了。我以为，这一内容是这本书中最有趣，最有意义的一章。