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  文：钮卫星
出处：中华读书报 2005年11月

　　伽利略说：大自然这本书是用数学这种语言写成的。科学史也表明，人们在探求关于大自然的知识的过程中，离不开数学。那么数学的本质是什么？数学为什么奏效？笔者承认没有能力回答这个问题，但是可以在此推荐读者到M·克莱因的《数学与知识的探求》一书中去寻找一下答案。

　　《数学与知识的探求》似乎就是为回答那些个问题而写的。不过克莱因在回答问题之前先花了全书13章中的10章篇幅来描述数学如何帮助人们获得关于自然的确定可靠的知识。在克莱因看来，所谓知识就是用数学语言表达出来的自然界的规律。从希腊人的几何天文学模型（第3章），到哥白尼和开普勒的日心学说（第4章），以及伽利略的落体公式（第5章）、牛顿的万有引力定律（第6章）、麦克斯韦的电磁理论偏微分方程组（第7章）、爱因斯坦的时空几何学即相对论（第9章）和把上帝变成一个掷骰子的赌徒的量子力学（第10章）等等，这些不借助数学就几乎无法表达出来的知识，历来都被认为是可靠知识的典范。这些内容显然属于典型的数学－物理学史范畴，但这样的准备是需要的。在前面10章的铺垫之下，克莱因在最后3章才正式处理数学与物理实在的关系，并试图解答“数学为什么奏效”。

数学定律=物理实在？

　　克莱因先用了一章篇幅（第11章）来论述数学与物理实在的关系。前面几章中用数学表述出来的这些自然规律，是真实的吗？它们与物理实在究竟是什么关系？譬如，开普勒曾得意地宣称行星沿椭圆轨道绕太阳运行，但这是物理真实吗？现在我们知道，只要有别的行星存在，其中一颗行星的轨道就不会是严格意义上的椭圆。第谷的行星观测资料的精度不高不低恰到好处地让开普勒能凑出椭圆轨道来，这似乎是一种巧合。又譬如著名的傅里叶方程，原本描述的物理实在是作为一种流体的热质，结果证明热质是不存在的，傅里叶方程却有非凡的用处。再譬如把以太描述为一种力学模型的麦克斯韦方程组，在以太被抛弃之后，方程组仍旧有效。而到了量子力学中，则根本不存在一个独立于观测者的客观实在了！在这些例子中，“物理学定律关乎的是我们的知识而不是在物理世界中什么是真的”（219页）。

　　在这里克莱因显然强调了“知识”不等于客观世界中的真的东西，“真实的世界不是我们未经质疑的感官所告诉我们的，也不是我们有限的知觉所能描述的，而是人类的数学理论告诉我们的”（220页）。他还说：“大自然并不规定也不禁止任何数学理论”（221页），“关于物理世界的数学理论不是对我们知觉到的现象的描述，而是一种冒险性的符号建构。数学脱离了感性经验的束缚，不再描述实在，而是建造关于实在的模型，用来解释、计算和预言。”（222页）直觉主义数学家们更进一步坚持“数学完全是人类思想的产物”（226页）。爱因斯坦也在《我的世界观》中说道：“我坚持下面的观点：纯思想能够把握实在，正如古人所梦想的。”（229页）

　　于是，我们不可避免地看到了柏拉图的幽灵在游荡。柏拉图认为在真实的“超感世界”和作为前者粗糙反映的“可感世界”之间，数学是连接它们的纽带。他的学生亚里斯多德曾在13世纪里取代了他在基督教中的地位，但在16、17世纪不幸被树为反面的典型，而那时柏拉图似乎复活了。哥白尼某种程度上是一个柏拉图主义者，并且不是最后一个。尽管有人会不同意，但我觉得伽利略也是某种程度上的柏拉图主义者，当然他也不是最后一个。牛顿也不是最后一个；爱因斯坦看来同样也不会是最后一个。似乎可以提出这样一个命题：不存在最后一个柏拉图主义者。柏拉图的“觅母”（meme）会顽强地传递下去。

数学为什么会奏效？

　　在对数学与物理实在的关系作了上述一番讨论之后，克莱因进而开始通过引证历史上各位物理学家、数学家和哲学家们的观点，来论证“数学为什么奏效？”（第12章）但从论证过程来看，也许这个问题应该换成“为什么人们认为数学会奏效？”

　　影响深远的一派观点源自毕达哥拉斯－柏拉图主义，该派坚持数学是物理世界的根本实在，融合了中世纪的上帝根据数学设计世界这一信条之后，就形成了这样一个研究纲领：“科学的目的就是发现所有现象背后的数学关系，并用这些关系来解释所有现象，从而显示上帝之作品的伟大和荣耀”（232页）。在这个纲领下工作的有哥白尼、开普勒、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等等这些16、17世纪的大师们，在他们看来，用上帝的方式来理解上帝的创造物，当然会奏效。

　　但慢慢地“关注于获得纯数学的结果逐渐代替了对上帝之设计的敬仰”，特别是到了18世纪法国的一群数学物理学家那里，“很明显，自然规律就是数学定律”（236页），在数学和物理学统治的范围内，没什么上帝他老人家的事情了。拿破仑看了拉普拉斯写的《天体力学》之后问拉普拉斯，为什么他在这本论述宇宙体系的大作中没有一次提到宇宙创造者的名字？拉普拉斯回答说：“我不需要这个假设。”到了非欧几何发展起来之后，“表明人类的数学并不是替大自然说话的，更不会导向对于上帝之存在的证明。”（237页）

　　另一派观点源自康德的主张：我们的心智先天拥有关于空间和时间的固有结构，心智根据这些固有结构的规定来组织这些知觉。“知性不是在从大自然中得出规律而是给大自然规定规律。”（239页）这种给大自然立法的想法有点狂妄，但也有不少支持者。爱丁顿作比方说：“在未知之海岸有一个奇怪的脚印。我们设计了一个接一个深奥的理论来解释其起源。最终我们重建了留下了那个脚印的生物。瞧，这个脚印是我们自己的。”（239页）爱丁顿认为心智所发现的只是从大自然中重获它放进去的东西。彭加勒和爱因斯坦也都在某种程度上持有康德的观点，他们相信数学和大自然的和谐是由人类心智造就的。在这种观念下，数学想要不奏效都不可能。

　　到19、20世纪，“世界是数学化设计的”这种信念在一些数学家中间有所回潮，只是抽掉了其中的宗教信念。基因斯说：“大自然和我们的有意识的数学心智根据同样的规律来运作。”（242页）赫米特说：“在数学中我们是仆人而不是主人。”（243页）威尔说：“大自然中有一种固有的隐藏的和谐，以简单数学定律的形象反射到我们的心智中。”所以在这些数学家看来，数学也是一门自然科学，它的概念和方法起源于经验，因此它在描述自然规律的时候当然会奏效。

　　克莱因就这样摘引了各家琳琅满目的格言和主张，但似乎没有给出他自己明确的判断。最后甚至还摘引了几家有点虚无主义的言论。譬如薛定谔说：“人类发现自然规律这本身就是个奇迹，很可能超出了人类的理解力。”戴森也说：“大概我们近期还不能理解物质世界和数学世界的关系。”爱因斯坦的名言他当然也没有放过：“这个世界最不可理解之处就是它的可理解性。”那么数学到底为什么奏效呢？或许也如哥德尔那个不完备定理所说的，这也是一个不可判定的命题？

“蛛网支撑着整个城堡”？

　　在叫做“数学和大自然的运作”的最后一章中，克莱因简要论述了几家对物理世界的机械决定论、因果性和概率论主张。最后总结本书主旨为：科学发现主要地――在某些领域中是完全地——依赖于数学。大自然是否有秩序、经设计甚至有目的，这是不能断定的。而确凿无疑的是，人类最有效的工具——数学——对于令人困惑的复杂自然现象提供了某种理解和控制。

　　尽管在这本书的结尾读到了一个自信、肯定的光明尾巴，但还是不禁让我想起前两年读到的克莱因写的另一本书《数学：确定性的丧失》。在那本书里，克莱因对“绝大多数有知识的人今天仍然认为数学是关于物质世界的不可动摇的知识体系，数学推理是准确无误的”这种神话进行了驳斥；并指出，被普遍接受的数学概念在今天已不复存在。那么人们不禁要担心地问：在数学自身的确定性都已经丧失的情况下，数学还能够奏效吗？克莱因的答案似乎是肯定的。

　　克莱因在他的书中引述过这样一个寓言：在莱茵河畔，一座美丽的城堡已经矗立了许多个世纪。在城堡的地下室中生活着一群蜘蛛，突然一阵大风吹散了它们辛辛苦苦编织的一张繁复的蛛网，于是它们慌乱地加以修补，因为它们以为，正是蛛网支撑着整个城堡。现在这个寓言似乎恰到好处地描述了克莱因的思想，稍稍不同的是，克莱因并不显得慌乱而已。

　　但不管怎样，纵观《数学与知识的探求》全书，尤其是后面三章，虽然在有些问题的处理上有点让人觉得意犹未尽、心痒难搔，但总起来还是一本很有启发性的数学－物理学史和数学哲学的入门指导书。克莱因作为当代著名的数学史家和数学哲学家，他的思想的深度和宽度还是能给人带来很多启发和教益的。

　　最后指出一些翻译上的小问题，大多属于没有遵循约定俗成的译法。Eudoxus一般作“欧多克斯”而不是“优道克苏斯”（3页，57页，64页，71页），Conic Sections作“圆锥曲线”而不是“圆锥截面”（45页，235页），Hipparchus译作“喜帕恰斯”或“伊巴谷”而不是“希帕库斯”（45页）或“黑帕库斯”（63页，65页，66页，67页），与晨星对应的一般是“昏星”而不是“暮星”（57页），“周转圆”应该作“本轮”（59页，64－65页），Aristarchus一般作“阿利斯塔克”而不是“阿里斯塔库斯”（60页），Eratosthenes作“埃拉托色尼”而不是“埃拉陶斯塞奈斯”（62页，63页），“从圆”应该译作“均轮”（65页，67页），Almagest一般作“《至大论》”而不是“《大综合论》”（66 70页），Equant一般译作“对点”而不作“等径点”（68 70页），Tycho一般作“第谷”而不是“笛谷”（79－80页），Galileo Galilei作“伽利略·伽利莱”而不是“加利利·伽利略”（88页，92页），“分析几何”应译作“解析几何”（98页），牛顿的老师一般译作“巴罗”而不是“班柔”（117页），Pascal一般作“帕斯卡”而不是“巴斯卡尔”（224页），The Starry Messenger和Sidereal Messenger是伽利略的同一本书的不同英译名字，不应用两个中文译名《星星的信使》（89页）和《恒星使者》（102页），一般取后者。另外，毕达哥拉斯“为逃避暴政而逃到萨摩斯岛”（56页）疑是“逃离”，因毕达哥拉斯本来就出生在萨摩斯岛。“在1629年12月10日写给理查德·本特雷的一封信中，牛顿说：……，”（233页）句中“1629年”有误，因牛顿到旧历1642年才出生。

——数学的确定性丧失了吗？
文：胡作玄
出处：中国图书商报 2005年7月

    《数学与知识的探求》是美国著名数学家、数学史家Ｍ·克莱因的封笔之作。说来也巧，他的第一本著作《西方文化中的数学》（１９５３）也被收入汪宇主编的“西方数学文化理念传播译丛”之中，由复旦大学出版社出版。一头一尾之间，Ｍ·克莱因出版了十几本书，最有名的当属１９７２年出版的《古今数学思想》，此书受到科学史界、特别是数学史界的一致好评，因为从长时段、大跨度、多学科地撰写一部通史，其难度决不下于专门的专题研究。国际数学史学会前主席斯克里巴（Ｃ·Ｓｃｒｉｂａ）教授曾说，这本书至少要流行到２１世纪。不管它流行多久，至少它反映出这位专业的应用数学家广博的数学及历史的知识和修养，而这不能不在它的其他著作中显示出来。
    这里我们不去列举他的专门数学的著作，也不谈他为了反对所谓“新数学”而写的论战文章，只集中于他写的“数学与思想文化”方面的四本书。以他的《古今数学思想》为界，前面两本是《西方文化中的数学》和《数学和物理世界》（１９５９），后面两本是《数学：确定性的丧失》（１９８０，有中译本），和我现在要讲的《数学与知识的探求》（１９８５）。如果要说“数学与文化”的话，他还写了《大学文科用数学》（１９６７）和《数学：从文化的角度看》（１９６２），后者是７００页的大书，它们都是为了一般大学生提高文化修养的教材。不过，西方文化的背景是否适用于中国大学生又是另一回事。
    我常想，对于一位有三、四十年的写作经历的作家，他们的作品前后会有什么不同？这当然不能一概而论。具体到Ｍ·克莱因，研究的主题有许多重复，这表示他持续地对这些重要课题予以关注，但是，前后的观察角度和处理方式却有着明显变化。一句话，随着时光的流逝，它变得更加成熟了。什么是成熟的标志，我想是把他研究的对象上升到哲学的高度，这里哲学不是学院式的或者专门化的，而是一语道破或画龙点晴的功夫。正如一位大数学家Ｆ·克莱因（Ｆ·Ｋｌｅｉｎ�煟保福矗梗�１９２５）的名著《从高观点看初等数学》的书名显示的，数学还是中学学的那一套，只是观点高了，把数学讲得让人觉得那么爽，那么透。这代表一种境界，这也许就是大师和普通专家的差别。
    Ｍ·克莱因也是位专家，他在人才济济的纽约大学柯朗（Ｒ·Ｃｏｕｒａｎｔ�煟保福福福�１９７２）研究所长期主持电磁理论研究组，这种专业背景无疑使他在阐述数学在经典物理学发展中的作用上驾轻就熟。不管人们是否偏微分方程，他们只要知道无线电流是从麦克斯韦方程解出来的，自然会对数学的威力产生敬畏之情，但由此也产生一种直到今天也难以消除的误解：数学是一门自然科学，也许我们还要加上人们对科学本身的误解：科学即自然界的真理，科学等于真理，这些似乎已经形成一般人的思维定势了。
    破除思维定势也许需要哲学，更正确地讲，需要哲学革命。幸好，西方哲学从一开始就把自己的目标固定在认识论或知识论上，从柏拉图的时代起，对知识的探求以及如何获得真知就是西方哲学的永恒主题。我想，幸运的是，１７世纪理性主义与经验主义两股思潮的结合，诞生了科学，而数学则是理性思维的最高形式。数学不仅提供整理事实和表述规律的有效工具，而且推动了定量实验的设计，使之成为验证或者否定理论的根据，这些都在Ｍ·克莱因的著作中得到充分的论述。
    也正好在１９世纪中期，数学经历了一场革命，这就是非欧几何学的出现。如果说，在非欧几何出现之前，你还可以把几何学，也就是把当时惟一一种几何学——欧氏几何学，当成惟一正确，也就是自然界的几何学，并且推而广之，把数学当成是一门自然科学（康德也说过，代数学是时间的科学），那么，非欧几何学已经把数学的对象从现实的世界扩大到“所有可能的世界”。也正因为如此，数学当然就不是什么“自然科学”了。同时，数学与物理学分开得越来越远了。
    数学内部这场政变会影响到数学之外吗？奇怪的是，情况恰恰如此！而且不仅有影响，还有决定性的影响！典型的是，对于２０世纪出现的两次物理学革命——广义相对论和量子物理学，数学都为它们的诞生事先准备好适当的工具。稍微具体讲，那就是黎曼几何学和泛函分析。这就不由得物理学家惊呼“数学的不可思议的有效性”（威格纳语，威格纳�煟拧ぃ祝椋纾睿澹颌煟保梗埃玻�１９９５�犑牵保梗叮衬昱当炊�物理学奖的获得者）。其实这只不过是“新数学”锋芒小试而已，以后这类事还多着呢，随便举两个例子：一个是群论在分子原子结构理论中的应用，一个是纤维丛在规范场理论中的应用，只不过它们都不在Ｍ·克莱因的论述范围之内。细心的读者会注意到《西方文化中的数学》止于非欧几何（第２６章），而狭义相对论（第２７章）用的还是经典数学。可是在《数学与知识的探求》中，他已经推进到广义相对论和量子力学，而且就此止步。正如《古今数学思想》一样，他的时限设在１９３０年。对于这之前的数学与物理，这本书做了十分精彩的哲学概括。这些思想实际上已经深入到我们心中，成为我们认识世界的基础。
    当然，我们都钟爱从牛顿那时继承下来的世界图景，Ｍ·克莱因也是如此。可是从１９３０年到他写书时（１９８０年）过去了半个世纪，而从１９８０年到现在又过去２５年，我们也不能不看到其间的变化。Ｍ·克莱因敏感地捕捉到其中之一，我们不妨称为哥德尔革命。他在１９８０年出版的《数学：确定性的丧失》中对此大大地发挥一番，但给我的感觉是有点文不对题。确定性并没有在数学中丧失，恐怕更应该说在物理学中丧失，或者说，我们对物理世界认识中不确定性的出现，像爱因斯坦、薛丁谔乃至玻姆（本书中译为包穆）等人总相一些“经典”方法克服量子力学的不确定性，Ｍ·克莱因也站在这一边，不过终究失败。从知识的探求的角度看，这才是我们应该从哲学层面探讨的不确定性。
    Ｍ·克莱因稍稍触及“现代”的一个方面，却在本丛书中的另一本《后现代思想的数学根源》中得到异乎寻常的发挥，这两本书在同一处接轨，可是，其中的哲学家却完全是不同的两套人马。看来数学与西方文化的密切关联没有在１９３０年，也不会在１９８０年止步不前，在知识的探求上你永远少不了数学。